Postado por No contexto da matemática financeira, desconto refere se à redução no valor de um título de crédito ou na quantia que um devedor deve pagar ao credor quando esse pagamento é feito antes do vencimento. Essa prática é comum em operações financeiras, onde um credor pode optar por antecipar o recebimento de um valor que seria pago no futuro, aceitando um montante menor em troca dessa antecipação.
Valor Nominal e Valor Real
Valor nominal refere-se ao valor de face de um título ou produto, sem considerar fatores como inflação ou taxas de desconto. Já o valor real representa o poder de compra do valor nominal, ajustado pela inflação. Essa diferença é crucial, especialmente em transações financeiras, onde o valor do dinheiro pode mudar ao longo do tempo.
Quando falamos de descontos, é importante entender como esses valores interagem. O desconto pode ser aplicado sobre o valor nominal, resultando em um valor líquido que pode ser considerado como o valor real na data da transação.
Desconto Racional (por dentro)
O desconto racional refere se a uma redução no preço que é aplicada diretamente ao valor de face de um título ou bem. Esse tipo de desconto é utilizado em transações financeiras onde se busca o valor atual de um montante futuro. O desconto racional é uma forma de calcular o valor que um título de crédito deve ter, considerando o tempo até o seu vencimento e a taxa de juros. Essa modalidade é baseada na ideia de que o valor do dinheiro varia com o tempo devido aos juros. O desconto racional reflete essa variação, sendo mais alinhado com a lógica da matemática financeira. O desconto racional é particularmente utilizado em operações de antecipação de recebíveis, onde o valor pago ao credor é menor do que o valor nominal do título, refletindo a quantia que se deixa de ganhar em juros.
Desconto Racional Simples (DRS)
a fórmula para calcular o valor atual (A) de um título é:
\[
A = \frac{N}{1 + i \cdot n}
\]
onde:
- N = Valor Nominal do Título
- i = Taxa de Juros (em decimal)
- n = Prazo de Antecipação (em períodos)
O valor nominal pode ser calculado:
Vn = Va * (1 + id*n)
Vn: Valor Nominal ou Valor Futuro — é o montante final que você terá após aplicar a taxa de juros durante um determinado período.
Va: Valor Atual — é o montante inicial ou o capital que você investe ou empresta.
id: Taxa de Juros Simples (em decimal) — é a taxa de juros aplicada ao valor atual durante o período. Por exemplo, se a taxa for 5% ao ano, id seria 0,05.
n: Número de Períodos — é o tempo em que os juros são aplicados. Pode ser em anos, meses, ou qualquer outra unidade de tempo.
O desconto (D) pode ser calculado como:
D=N−A
ou
\[
D = \frac{N \times i \times t}{1 + i \times t}
\]
D: Desconto — é o valor que é descontado de um título ou montante original. Representa a quantia que não será recebida em função do desconto aplicado.
N: Valor Nominal — é o montante original ou o valor total do título a ser descontado. Esse é o valor que seria recebido se o título fosse resgatado no seu vencimento.
i: Taxa de Juros (em decimal) — é a taxa de juros que será utilizada para calcular o desconto. Por exemplo, se a taxa de juros for 5% ao ano, então iii seria 0,05.
t: Tempo — é o período em que o desconto é aplicado, geralmente em anos ou meses.
Exemplo de DRS
Suponha que você tenha um título com valor nominal de R$ 10.000, uma taxa de juros de 5% ao mês, e deseja resgatá-lo 3 meses antes do vencimento.
Calcule o valor atual:
\[
A = \frac{10000}{1 + 0,05 \cdot 3} = \frac{10000}{1 + 0,15} = \frac{10000}{1,15} \approx 8695,65
\]
Calcule o desconto:
\[
D = 10000 – 8695,65 \approx 1304,35
\]
Portanto, o valor atual é R\$ 8.695,65, e o desconto é R\$ 1.304,35.
Desconto Racional Composto (DRC)
Para o Desconto Racional Composto, a fórmula é semelhante, mas incorpora a capitalização dos juros:
\[
A = \frac{N}{(1+i)^n}
\]
O valor nominal pode ser calculado:
\[
V_n = V_a \times (1 + i)^n
\]
O desconto é dado por:
D=N−A
Exemplo de DRC
Considere um título com valor nominal de R$ 20.000, uma taxa de juros de 6% ao mês, e você o resgatará 4 meses antes do vencimento.
Calcule o valor atual:
\[
A = \frac{20000}{(1 + 0,06)^4} = \frac{20000}{1,2625} \approx 15862,24
\]
Calcule o desconto:
\[
D = 20000 – 15862,24 \approx 4147,76
\]
Assim, o valor atual é R\$ 15.862,24, e o desconto é R\$ 4.147,76.
2. Desconto Comercial (por fora)
O desconto comercial é uma modalidade onde o desconto é calculado sobre o valor futuro do título, geralmente gerando um valor de desconto maior em comparação com o desconto racional. O desconto comercial é uma operação que se baseia no desconto aplicado sobre o valor futuro do título. Essa modalidade é comum em transações financeiras, onde o desconto é maior em comparação ao desconto racional, devido à forma como os juros são aplicados. O desconto comercial é mais frequentemente utilizado por instituições financeiras, pois oferece uma maior margem de lucro em relação aos descontos racionais. Essa modalidade se aplica quando o valor do desconto é calculado diretamente sobre o valor nominal, refletindo a natureza do crédito e os juros que ele gera.
2.1 Desconto Comercial Simples (DCS)
No Desconto Comercial Simples, a fórmula para calcular o valor atual (A) é:
A=N×(1−i x n)
Va = Vn * (1 – id*n)
O desconto é calculado como:
D=N−A
Exemplo de DCS
Suponha que você tenha um título de R\$ 5.000, com uma taxa de desconto de 4% ao mês, e deseja resgatar 2 meses antes do vencimento.
Calcule o valor atual:
\[
A = 5000 \times (1 – 0,04 \times 2) = 5000 \times (1 – 0,08) = 5000 \times 0,92 = 4600
\]
Calcule o desconto:
\[
D = 5000 – 4600 = 400
\]
O valor atual é R\$ 4.600, e o desconto é R\$ 400.
2.2 Desconto Comercial Composto (DCC)
No Desconto Comercial Composto, o desconto é aplicado sobre o valor futuro, utilizando a fórmula:
\[
A = N \times (1 – i)^n
\]
Va = Vn * (1 – id) n
O desconto é dado por:
\[
D = N – A \quad \text{ou} \quad D = N \times [1 – (1 – i)^n]
\]
Exemplo de DCC
Considere um título com valor nominal de R$ 15.000, uma taxa de desconto de 3% ao mês, e que será resgatado 6 meses antes do vencimento.
Calcule o valor atual:
\[
A = 15000 \times (1 – 0,03)^6 = 15000 \times (0,8352) \approx 12528
\]
Calcule o desconto:
\[
D = 15000 – 12528 \approx 2472
\]
Portanto, o valor atual é R\$ 12.528, e o desconto é R\$ 2.472.
Comparação entre os Tipos de Desconto
| Tipo de Desconto | Simples | Composto |
|---|---|---|
| Racional | $$ A = \frac{N}{1 + i \cdot n} $$ | $$ A = \frac{N}{(1+i)^n} $$ |
| Comercial | A=N×(1−i x n) | $$ A = N \times (1 – i)^n $$ |
Conclusão
A escolha entre o desconto racional e o comercial, bem como suas variantes simples e compostas, depende do contexto financeiro em que estão sendo aplicados. O desconto comercial é geralmente mais vantajoso para os bancos, pois gera valores de desconto maiores. Por outro lado, o desconto racional pode ser mais apropriado em situações onde o valor atual do dinheiro é crucial.
Entender esses conceitos é fundamental para quem atua no mercado financeiro e para empresas que buscam otimizar sua gestão de fluxo de caixa, permitindo tomar decisões informadas sobre resgates antecipados de títulos.
Exercícios
