Equivalência de Capitais em Juros Simples e Compostos

A equivalência de capitais é um conceito fundamental em matemática financeira, usado para comparar diferentes valores em momentos distintos do tempo, considerando a taxa de juros acordada. Seja no regime de juros simples ou juros compostos, dois ou mais capitais são equivalentes quando, ao serem ajustados por uma taxa de juros em uma data comum (chamada de data focal ou data zero), possuem o mesmo valor.

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Por que usamos a Equivalência de Capitais?

A equivalência de capitais é útil quando precisamos trocar um título por outro com vencimentos diferentes, sem que haja prejuízo para nenhuma das partes envolvidas. A solução para esses problemas é calcular os valores dos títulos na mesma data, ajustando-os pela taxa de juros. Se os valores se igualarem, os capitais são considerados equivalentes.

Equivalência de Capitais em Juros Simples

Nos juros simples, os juros são calculados sobre o valor inicial (capital) ao longo do tempo, sem a incidência de juros sobre os juros acumulados. A data de comparação deve ser a data zero, pois os juros simples incidem apenas sobre o capital inicial.

Fórmula para Juros Simples:

M=P×(1+i×t)

Onde:

M é o montante final (capital + juros),
P é o capital inicial,
i é a taxa de juros,
t é o tempo.

V_n x (1 – i_dx n) = V_neq x (1 – id x n_eq)

Vamos entender cada elemento da fórmula:

n_eq: Tempo (em dias, meses, anos, etc.) até o vencimento do novo título equivalente.
V_n: Valor nominal ou de face do título que está sendo substituído, ou seja, o valor presente do título original.
i_dn: Taxa de desconto em termos unitários. É a taxa de desconto aplicada ao título, geralmente expressa ao mês ou ao ano.
n: Tempo (em dias, meses, anos, etc.) até o vencimento do título original.
V_neq: Valor nominal ou de face do novo título equivalente.

Exemplo 1 – Substituição de Título

Suponha que você tenha um título de crédito de R$ 5.000,00 a ser pago em 3 meses e queira substituí-lo por outro título com vencimento em 5 meses. A taxa de juros simples é de 3,5% ao mês.

Dados:

Valor do título atual: R$ 5.000,00
Tempo até o vencimento atual: 3 meses
Taxa de juros: 3,5% ao mês
Novo prazo: 5 meses

Usamos a fórmula da equivalência de capitais para juros simples:

V_n(1 – i_dn) = V_neq(1 – id_neq)

5.000×(1−0,035×3)= V_neq×(1−0,035×5)

Calculando:

5.000×0,895=V_neq×0,825

4.475=0,825×V_neq

V_neq=5.424,24

Portanto, o valor nominal do novo título deve ser R$ 5.424,24 para ser equivalente ao título original.

Exemplo 2 – Troca de Dois Títulos por Um Só

Uma pessoa deve R\$ 3.000,00 vencíveis em 2 meses e R\$ 3.600,00 vencíveis em 6 meses. Ela deseja trocar esses dois títulos por um único título com vencimento em 4 meses. A taxa de juros é de 3% ao mês.

Dados:

Valor dos títulos: R\$ 3.000,00 (2 meses) e R\$ 3.600,00 (6 meses)
Taxa de juros: 3% ao mês
Novo vencimento: 4 meses

Usamos a fórmula:

V_n1×(1−i×_n1)+V_n2×(1−i×_n2)=V_neq×(1−i×n_neq)

3.000×(1−0,03×2)+3.600×(1−0,03×6)=Vneq×(1−0,03×4)

Calculando:

3.000×0,94+3.600×0,82=V_neq×0,88

2.820+2.952=0,88×V_neq

5.772=0,88×V_neq

V_neq=6.559,00

Assim, o valor do novo título será R$ 6.559,00 para ser equivalente aos dois anteriores.

Equivalência de Capitais em Juros Compostos

Nos juros compostos, os juros são calculados sobre o capital inicial e sobre os juros acumulados de períodos anteriores. Isso significa que os juros incidem sobre juros, resultando em um crescimento exponencial.

Fórmula para Juros Compostos:

M=P×(1+i)^t

Onde:

M é o montante final (capital + juros),
P é o capital inicial,
i é a taxa de juros,
t é o tempo.

V_n×(1+i)⁻ⁿ=V_neq×(1+i)^−n_neq

Onde:

V_n: Valor nominal do título original.
i: Taxa de juros compostos por período.
n: Prazo (número de períodos) do título original.
V_neq: Valor nominal do novo título equivalente.
n_neq: Prazo (número de períodos) do novo título.

Exemplo 1 – Substituição de Título

Suponha que você tenha um título de crédito de R$ 7.000,00 vencível em 5 meses e queira substituí por outro vencível em 3 meses. A taxa de desconto composto é de 3% ao mês.

Dados:

Valor do título: R$ 7.000,00
Tempo até o vencimento: 5 meses
Taxa de juros: 3% ao mês
Novo vencimento: 3 meses

A fórmula para calcular a equivalência de capitais em juros compostos é:

7.000×(1+0,03)⁻⁵=V_neq×(1+0,03)⁻³

Calculando:

7.000×0,8626=V_neq×0,9151

6.038=0,9151×V_neq

V_neq=6.598,00

Portanto, o novo título deve ser de R$ 6.598,00 para ser equivalente ao original.

Exemplo 2 – Consolidação de Dívidas

João deve R\$ 40.000,00 com vencimento em 60 dias e R\$ 80.000,00 com vencimento em 180 dias. Ele deseja pagar o total da dívida em 4 meses (120 dias). A taxa de juros compostos é de 2% ao mês.

Dados:

Valor dos títulos: R\$ 40.000,00 (2 meses) e R\$ 80.000,00 (6 meses)
Taxa de juros: 2% ao mês
Novo vencimento: 4 meses

A fórmula para calcular o valor da dívida em 4 meses é:

40.000×(1+0,02)−2+80.000×(1+0,02)−6=V_neq×(1+0,02)−4

Calculando:

40.000×0,9611+80.000×0,8879=V_neq×0,9238
38.444+71.032=0,9238×V_neq
109.476=0,9238×V_neq
V_neq=118.506,00

João deverá pagar R$ 118.506,00 em 4 meses para quitar suas dívidas.

Conclusão

A equivalência de capitais, tanto no regime de juros simples quanto no de juros compostos, é uma ferramenta essencial na matemática financeira. Ela permite a substituição de títulos financeiros com diferentes vencimentos e valores, garantindo que nenhuma das partes saia prejudicada. Para isso, é crucial identificar a taxa de juros e calcular os valores equivalentes na mesma data focal.