Postado por Série de Pagamentos Diferida
Uma série de pagamentos diferida ocorre quando os pagamentos periódicos não começam imediatamente, mas são adiados por um número específico de períodos. Esse adiamento é comum em contratos que têm um período de carência, como financiamentos ou rendas futuras que só começam após determinado tempo.
Valor Presente de uma Série Diferida
Para calcular o valor presente de uma série diferida, precisamos ajustar a fórmula do valor presente de uma anuidade, considerando o tempo de adiamento (período de diferimento).
A fórmula para calcular o valor presente de uma série diferida é:
Para pagamentos antecipados (ou seja, aqueles feitos no início do período):
\[
VP = PMT \times (1 + i) \times \left[ \frac{(1 + i)^n – 1}{(1 + i)^n \cdot i} \right]
\]
Para pagamentos vencidos (ou seja, aqueles feitos no final do período):
\[
VP = PMT \times \left[ \frac{(1 + i)^n – 1}{(1 + i)^n \cdot i} \right]
\]
Onde:
- VP é o valor presente da série diferida.
- PMT é o valor do pagamento periódico.
- i é a taxa de juros por período.
- n é o número de pagamentos.
Cálculo do Pagamento Periódico (PMT) em uma Série Diferida
Se conhecemos o valor presente e queremos calcular o valor dos pagamentos periódicos, utilizamos a fórmula:
$$ PMT = \frac{PV \times i \times (1 + i)^{k-1}}{1 – (1 + i)^{-n}} $$
Explicando os termos:
- PV é o valor presente.
- i é a taxa de juros por período.
- k é o número de períodos de diferimento.
- n é o número total de pagamentos após o período de diferimento.
Exemplo de Cálculo do PMT
Vamos calcular o valor do pagamento periódico para uma série diferida, onde:
- O valor presente (PV) é de R$ 10.000.
- A taxa de juros (i) é de 10% ao ano.
- O número de períodos de diferimento (k) é de 3 anos.
- O número total de pagamentos (n) é de 5 anos.
Substituindo os valores na fórmula:
$$ PMT = \frac{10.000 \times 0,10 \times (1 + 0,10)^{3-1}}{1 – (1 + 0,10)^{-5}} $$
Calculando passo a passo:
- $$ (1 + 0,10)^2 = 1,21 $$
- $$ 10.000 \times 0,10 \times 1,21 = 1.210 $$
- $$ (1 + 0,10)^{-5} = 0,62092 $$
- $$ 1 – 0,62092 = 0,37908 $$
- $$ PMT = \frac{1.210}{0,37908} = 3191,94 $$
Portanto, o valor do pagamento periódico será R$ 3.191,94.
Exemplo de cálculo Vp:
Uma pessoa compra um produto em 11 parcelas de 100,00. sabendo que o primeiro pagamento só se dará após 3 meses(carência), qual o preço a vista do produto? (considere uma taxa de juros de 1% ao mês)
Antecipado:
\[
VP = PMT \times (1 + i) \times \left[ \frac{(1 + i)^n – 1}{(1 + i)^n \cdot i} \right]
\]
\[
VP_a = R\$ 100 \cdot (1 + 0,01) \cdot \left[ \frac{(1 + 0,01)^{11} – 1}{(1 + 0,01)^{11} \cdot 0,01} \right] = 1.047,13
\]
Calculando com a fórmula de juros compostos:
\[
VF = VP \times (1 + i)^n
\]
\[
1.047,13 = VP \times (1 + 0,01)^3
\]
\[
VP = 1.016,33
\]
Resposta: Valor inicial do produto 1.016,33, usando a fórmula do pagamento vencido mas será elevado a 2 por ser apenas 2 mês.
Série de Pagamentos Perpétua
Uma série de pagamentos perpétua, ou perpetuidade, é uma série onde os pagamentos periódicos continuam indefinidamente. Um exemplo típico é o pagamento de dividendos de ações preferenciais, onde os fluxos de caixa são constantes e sem data final.
Valor Presente de uma Série Perpétua
A fórmula para calcular o valor presente de uma série perpétua é bem simples, pois estamos lidando com um número infinito de pagamentos. A fórmula é:
$$ PV_{perpetua} = \frac{PMT}{i} $$
Onde:
- PVperpetua é o valor presente da série perpétua.
- PMT é o valor do pagamento periódico.
- i é a taxa de juros por período.
Exemplo de Cálculo do Valor Presente de uma Perpetuidade
Se uma empresa paga um dividendo constante de R$ 1.000 por ano e a taxa de juros ou retorno exigido pelos investidores é de 5% ao ano, o valor presente da perpetuidade será:
$$ PV_{perpetua} = \frac{1.000}{0,05} = 20.000 $$
Portanto, o valor presente dessa perpetuidade é R$ 20.000.
Série Perpétua Crescente
Em alguns casos, os pagamentos de uma perpetuidade podem crescer a uma taxa fixa ao longo do tempo. Isso é chamado de perpetuidade crescente. A fórmula para o valor presente de uma perpetuidade crescente é:
$$PV_{perpetua\ crescente} = \frac{PMT}{i – g} $$
Onde:
- g é a taxa de crescimento dos pagamentos (com i>g).
Exemplo de Cálculo de uma Perpetuidade Crescente
Se os dividendos pagos por uma empresa são de R$ 500 por ano, mas crescem 3% ao ano indefinidamente, e a taxa de retorno exigida é de 8%, o valor presente será:
$$PV_{perpetua\ crescente} = \frac{500}{0,08 – 0,03} = \frac{500}{0,05} = 10.000 $$
Portanto, o valor presente dessa perpetuidade crescente é R$ 10.000.
Conclusão
As séries de pagamentos diferidas e perpétuas são ferramentas financeiras essenciais para avaliar fluxos de caixa futuros. Enquanto as séries diferidas envolvem um período de carência antes do início dos pagamentos, as séries perpétuas são caracterizadas por pagamentos que se estendem indefinidamente. A fórmula para calcular o PMT em uma série diferida ajuda a determinar o valor dos pagamentos periódicos com precisão, considerando o período de adiamento.
